Bremslicht brennt ständig, Masse an klemme 59

Je nach Messgerät misst du an Klemme 59 mit dem Durchangsprüfer immer Masse. In Wahrheit ist noch die Bremslichtbirne dazwischen, die hat kalt aber nur ein paar Ohm.
Zieh den Kontakt vom Bremslichtschalter am Hinterrad ab. Wahrdcheinlich geht das Bremslicht dann aus. Ist dem so, muss der Bremslichtschalter eingestellt werden. Dazu gibts viele Threads.

Stimmt, wenn der Schalter trennt, sollte keine Masse drauf liegen. Sodenn du das rot/schwarze allein gemessen hast, also von Klemme 59 abgezogen. Auf den beiden anderen Leitungen des Dreiersteckers wirst du - je nach Durchgangsprüfer bzw. Erfahrung - Masse messen.

das wäre richtig:
grau/rot (von der 21W-Spule - "Lichtstrom") kommt von der Lima an den dreifach-Verteiler vom Zündschloss.
rot/gelb (ebenfalls von der 21W-Spule - "Ladestrom") geht an die Glassicherung (und als grün (bzw grün/rot) auf der anderen Seite der Sicherung in die LA)

Wenn du den Widerstand gemessen hast, würde ich aufpassen! => Die Spulen haben nur 0,xyz Ohm.
Also müsstest du den Widerstand der Spule messen können, wenn die Leitung heil wäre. (Die Widerstandswerte der Spulen sind im FAQ zu finden)

Das sicherste wäre aber zu prüfen, ob du auf der Leitung eine AC-Spannung messen kannst. => Misst du bei laufendem Motor eine AC-Spannung, kann das Kabel nicht defekt sein.

Zum Bremslicht:
grau/rot kommt am 3-fach-Verteiler an.
schwarz/rot geht von hier zum Br-Licht an die Klemme 54. (Wenn original-Rücklicht!) - von dem anderen Kontakt (31b) geht braun/schwarz an den Bremslichtschalter am Hinterrad.
grau/schwarz geht vom 3-fach-Verteiler zur Rücklichtdrossel. das andere grau/schwarze an der RL-Drossel geht an die 59b. Die AC-Spannung wird in Stellung II auf die 58 durchgeschaltet und geht als grau zum RL auf die 58.

Die SW-Spule kommt als rot/weiß aus der Lima und geht am ZS auf die 59, welche in der Stellung I schwarz/blau (86, Lichthupe) und in der Stellung II auf weiß/schwarz (56, zum Abblendschalter) geht.
(auch hier solltest du bei laufendem Motor eine AC-Spannung messen, wenn du keine Widerstandsmessung der Spule (bei Motor aus!!!) machst)

Ich würde den Motorblock zur Sicherheit mit einem Kabel (1,5-4mm²) mit dem zentralen Rahmenmassepunkt verbinden.

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So wie du die Elektrik beschreibst, könnte da einiges falsch geklemmt sein.

Wenn du zusehen kannst, wie die Batterie nach dem Laden die Spannung verliert, ohne dass sie angeschlossen ist, solltest du dir eine neue Batterie kaufen.

Bleibt die Spannung aber erhalten, wenn sie nicht angeklemmt wurde, bricht aber sofort ein, wenn sie angeklemmt wurde, ist möglicherweise ein Kurzschluss vorhanden oder die Diode der LA defekt (der Strom fließt über die defekte Diode zur 21W-Spule gegen Masse)
Liegt es an der Diode, benötigt die LA eine neue Diode oder du setzt eine Diode in die rote Leitung der LA ein. (Durchflussrichtung: "LA zur Batterie" --- Diode mit mindestens 4A nehmen oder einen Brückengleichrichter als Diode "misbrauchen": Anschluss einer der AC-Eingänge nutzen und nur den Plus-Ausgang verwenden)
Andernfalls musst du die Verkabelung überprüfen, ob hier irgendeine Leitung durchgescheuert sein könnte (und gegen Masse kommt) oder irgend etwas falsch gesteckt bzw einer der Kontakte ggf einen Kurzen verursacht. (Nur dann müsste die Torpedo-Sicherung (die 8A) auslösen...)

Auch wenn sie nur 4 Monate als sein sollte... - und egal, welcher Hersteller:
Es kann immer mal eine Batterie als "Ausschuss" sich in den Versand mogeln. Dank der stichprobenartigen Qualitätskontrollen.
Oder "falsche" Lagerung...

Aber es gibt auch andere Ursachen, die man ggf selbst verschuldet hat.
Das fängt damit an, ob du eine bereits befüllte Batterie bekommst oder selber befüllen musst. (Anleitung beachten)
Dann sollte die Batterie nicht tiefentladen werden und so länger stehen, sondern sollte immer mindestens 12,4V haben (eine neue Batterie hält nach dem Laden oft eine Spannung von mindestens 6,8V bei 6V-Batterien und mindestens 13,2V bei 12V-Batterien, selbst wenn sie tagelang nicht verbaut wurde)

Wenn sich die Batterie also -ohne ins Moped eingebaut zu werden- selbst entlädt, solltest du also eine neue Batterie verbauen.
Wenn du die neue Batterie also verbaust, würde ich vor dem Anschließen einen "Ruhestrom-Test" im Moped machen:

Nimm dazu die Torpedo-Sicherung (Keramik-) raus. Baue nun die Batterie ein. Jetzt misst du mit einem Multimeter, welches auf A DC eingestellt wurde, den Strom am Sicherungshalter. (das rote (Mess-)Kabel an den Kontakt, wo das rot/grüne Kabel von der Batterie kommt, das schwarze (Mess-)Kabel an die Seite zum Zündschloss.
Wenn das Zündschloss auf 0 steht, soll der Ruhestrom ebenfalls "Null" sein (und nicht "Null Komma nochwas" betragen. (Es sei denn, du hast eine Alarmanlage verbaut... => Ziehe die Sicherung aus der roten AA-Zuleitung oder trenne das Kabel zur AA, damit sie keinen Strom zieht. Für eine AA wären bis zu 4mA (0,004A) Stromfluss normal)

Aber schaue mal, ob bei dir Strom fließt oder nicht, wenn das ZS ausgeschalten ist,
Nur wenn da Strom fließt, solltest du die Sicherung erst einmal draußen lassen und Bescheid geben. (Dann müssen wir scheuen, was da los ist)

Das hast du richtig geschlussfolgert!

(Der "andere Kram" scheint demnach OK zu sein, dass sich da nichts entladen kann...)